Investigación de operaciones II

La Investigación de Operaciones se ocupa de la solución de problemas relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, enfocándose en problemas de fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, entre otros.

En general, se puede aplicar en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño. La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones. El método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas.


En este curso se tratan los siguientes temas:

· Modelos de inventario

· Cadenas de Markov

· Teoría de juegos

· Teoría de decisiones

Teoría de Juegos

Evidentemente definir la Teoría de Juegos es tan absurdo como su lógica, pero la realidad es que la Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa.
En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegos-juegos, se pueden desentender de todos los detalles.

Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos si se observase qué tan honesto es ese personaje, cómo manipularía la información obtenida, etc. Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería un error comparable al de un matemático que no respeta las leyes de la aritmética porque no le gustan los resultados que está obteniendo.
Sus creadores y principales exponentes fueron John Van Neumann y Oskar Morgenstern.


 HISTORIA


John Von Neumann Nació en el Imperio de Austria-Hungría, en Budapest, en el seno de una familia judía de banqueros, ennoblecida por el Imperio. Un niño prodigio que estudió matemáticas y química en su ciudad natal, Berlín y Zurich. Recibió su doctorado en matemáticas de la Universidad de Budapest a los 23 años, un año antes que se cerrara a los estudiantes de origen hebreo. Fue profesor en Berlín y Hamburgo en los años 20. Es sumamente probable que ya en Gotinga, la Meca de los matemáticos por aquel entonces, conociese a Norbert Wiener entre 1924 y 1926. Fue una de las cuatro personas seleccionadas para la primera facultad del Institute for Advanced Study (Instituto para Estudios Avanzados). Trabajó en el Proyecto Manhattan. Junto con Edward Teller y Stanislaw Ulam, resolvió pasos fundamentales de la física nuclear involucrada en reacciones termonucleares y la bomba de hidrógeno. Es considerado el padre de la teoría de juegos y publicó el clásico libro Theory of Games and Economic Behavior ('Teoría de juegos y comportamiento económico'), junto a Oskar Morgenstern, en 1944. También concibió el concepto de "MAD" (Mutually Assured Destruction o 'destrucción mutua asegurada'), concepto que dominó la estrategia nuclear estadounidense durante los tiempos de posguerra. Fue pionero de la computadora digital moderna y de la aplicación de la teoría de operadores a la mecánica cuántica. Trabajó con Eckert y Mauchly en la Universidad de Pennsylvania, donde publicó un artículo acerca del almacenamiento de programas. El concepto de programa almacenado permitió la lectura de un programa dentro de la memoria de la computadora, y después la ejecución de las instrucciones del mismo sin tener que volverlas a escribir. La primera computadora en usar el citado concepto fue la llamada EDVAC (Electronic Discrete-Variable Automatic Computer, es decir 'computadora automática electrónica de variable discreta'), desarrollada por Von Neumann, Eckert y Mauchly. Los programas almacenados dieron a las computadoras flexibilidad y confiabilidad, haciéndolas más rápidas y menos sujetas a errores que los programas mecánicos. Su nueva tecnología usaba el sistema Binario en vez del Decimal. Otra de sus inquietudes fue la capacidad de las máquinas de autorreplicarse, lo que le llevó al concepto de lo que ahora llamamos máquinas de Von Neumann o autómatas celulares.



Oskar Morgenstern, 1902-1977 , nacido en Görlitz, Silesia, estudia en las universidades de Viena, Harvard y Nueva York. Miembro de la Escuela Austriaca y avezado matemático, participa en los famosos "Coloquios de Viena" organizados por Karl Menger (hijo de Carl Menger) que pusieron en contacto científicos de diversas disciplinas, de cuya sinergia se sabe que surgieron multitud de nuevas ideas e incluso nuevos campos científicos. Emigra a Estados Unidos durante la segunda guerra mundial ejerciendo la docencia en Princeton. Publica en 1944, conjuntamente con John von Neumann, el libro Theory of Games and Economic Behavior.





CONCEPTOS BÁSICOS

Juego: es la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que pueden seguir cada uno de ellos, y el conjunto de utilidades.

Matriz de pagoo matriz de recompensa; es en la que resume la información dada por las por la funciones de pago en un juego rectangular o en un juego extensivo en su forma normal.

Jugador Columna
E1
E2
Jugador
Renglón
E1
(e,e)
(e,e)
E2
(p,g)
(g,p)

Valor del juego: es el pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de la coalición si no recibe como pago el valor del juego.

Juego de suma cero: en un conflicto de juego hay dos oponentes llamados jugadores, y cada uno tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias, a las cuales está vinculada una recompensa que paga un jugador al otro. La ganancia de un jugador es igual a la pérdida de otro.

Estrategia: es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego.se explicita antes que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede ser de tipo aleatorizada, la cual es escogida al azar, según determinadas probabilidades; o dominante, la que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro.
 
Punto de silla: consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego. 


JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no es injusto o parcial. Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto silla, está sujeto a las siguientes condiciones:

Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.



JUEGOS NO ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

Estos juegos tienen más de una alternativa de juego por la que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla porque el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual  al numero mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.


Criterio Mini-Máx
Un jugador quien usa el criterio mini-max escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante.
Encontrar la estrategia se llama solucionar el juego.  

Criterio Máxi-Min
Un jugador quien usa el criterio maxi-min escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, maximiza el ingreso de las peores situaciones provocadas por el otro jugador. Es decir, conduce a la elección del mayor de los valores minimos en que pueden resultar cada estrategia.